Ряд Фантапье

Ряд Фантапье — разложение аналитического функционала в ряд, аналогичный ряду Тейлора, в некоторой окрестности области его определения. Введён в науку Л. Фантапье в 1930 г.^[1][2]

Определение

Пусть ${\displaystyle F[y(t)]}$ — аналитический функционал, ${\displaystyle y(t)}$ — некоторая функция действительного переменного ${\displaystyle t}$, на которой он задан. Всякий аналитический функционал в окрестности его области определения можно разложить в абсолютно сходящийся ряд, аналогичный ряду Тейлора:

${\displaystyle F[y(t)+\phi (t)]=F[y(t)]+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}F^{(n)}[y(t);\alpha _{1}^{*},\alpha _{2}^{*},...,\alpha _{n}^{*}]\phi (\alpha _{1})_{*}\phi (\alpha _{2})_{*}...\phi (\alpha _{n})_{*})}$

Здесь ${\displaystyle F^{(n)}[y(t);\alpha _{1}^{*},\alpha _{2}^{*},...,\alpha _{n}^{*}]=\left\{{\frac {\partial ^{n}}{\partial _{\epsilon _{1}}\partial _{\epsilon _{2}}...\partial _{\epsilon _{n}}}}F\left[y(t)+{\frac {\epsilon _{1}}{\alpha _{1}-t}}+{\frac {\epsilon _{2}}{\alpha _{2}-t}}+...+{\frac {\epsilon _{n}}{\alpha _{n}-t}}\right]\right\}_{\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=...=\epsilon _{n}=0}}$ — производная n-го порядка от функционала ${\displaystyle F}$ по ${\displaystyle y}$ в точке ${\displaystyle \alpha }$, символ ${\displaystyle *}$ обозначает интеграл вдоль замкнутого пути.