Самосогласованная функция

В математической оптимизации самосогласованной функцией называют трижды дифференцируемую выпуклую функцию ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, вторая и третья производные которой связаны неравенством:

${\displaystyle |f'''(x)|\leqslant 2\left(f''(x)\right)^{3/2}\quad \forall x\in {\mbox{dom }}f.}$

Многомерную функцию ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ называют самосогласованной, если одномерная функция ${\displaystyle \phi (t)=f(x+ht)}$ является самосогласованной для любых ${\displaystyle x,h\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Свойства

• Сумма самосогласованных функций является самосогласованной.
• Если ${\displaystyle f(x)}$ — самосогласованная функция, то самосогласованной является и функция ${\displaystyle \alpha f(x)}$ для любого действительного числа ${\displaystyle \alpha \geqslant 1}$.
• Композиция самосогласованной функции с аффинной является самосогласованной функцией.

Приложения

Существуют точные оценки глобальной сходимости метода Ньютона для самосогласованных функций.

Литература

• Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization. § 9.6.
• Б. Т. Поляк. Метод Ньютона и его роль в оптимизации и вычислительной математике. Труды Института системного анализа Российской академии наук, 2006.