Свойство продолжения гомотопии

Свойство продолжения гомотопии (или свойство Бо́рсука) говорит, что гомотопия на подпространстве может быть продолжена до гомотопии на всём топологическом пространстве.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — это топологическое пространство и ${\displaystyle A\subset X}$. Пара ${\displaystyle (X,A)}$ обладает свойством продолжения гомотопии (является парой Борсука), если для любого топологического пространства ${\displaystyle Y}$ и любого непрерывного отображения ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ любую гомотопию ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{t}\colon A\rightarrow Y}$ ограничения ${\displaystyle f|_{A}}$ можно продолжить до гомотопии ${\displaystyle F_{t}\colon X\rightarrow Y}$ отображения ${\displaystyle f}$.

Свойства

• Пара ${\displaystyle (X,A)}$ обладает свойством продолжения гомотопии тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X\times \{0\}\cup A\times I}$ — ретракт пространства ${\displaystyle X\times I}$.
• Если пара ${\displaystyle (X,A)}$ обладает свойством продолжения гомотопии и ${\displaystyle A}$ стягиваемо, то отображение факторизации ${\displaystyle q\colon X\rightarrow X/A}$ является гомотопической эквивалентностью.
• Лемма Борсука. Пусть ${\displaystyle X}$ — это CW-комплекс и ${\displaystyle A}$ — подкомплекс ${\displaystyle X}$, тогда пара ${\displaystyle (X,A)}$ обладает свойством продолжения гомотопии.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.