Расслоение

Расслоение — тройка ${\displaystyle (X,\pi ,B)}$, где ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, называемое пространством расслоения (а также тотальным, или расслоённым, пространством), ${\displaystyle B}$ — другое пространство, называемое базой расслоения, ${\displaystyle \pi }$ — непрерывное сюръективное отображение (проекция расслоения) ${\displaystyle \pi \colon X\to B}$ пространства ${\displaystyle X}$ в пространство ${\displaystyle B}$. Часто расслоением называют само отображение ${\displaystyle \pi }$ или пространство ${\displaystyle X}$.

Для каждого элемента ${\displaystyle b\in B}$ определяется слой над этим элементом как подмножество ${\displaystyle F_{b}\subset X}$ всех прообразов элемента ${\displaystyle b\in B}$, то есть ${\displaystyle F_{b}=\pi ^{-1}(\{b\})}$. Соответственно расслоение представляет собой объединение ${\displaystyle F}$ слоёв ${\displaystyle F_{b}}$, параметризованных базой ${\displaystyle B}$ и склеенных топологией пространства ${\displaystyle X}$.

Отображение ${\displaystyle h\colon B\to X}$ такое, что ${\displaystyle \pi \circ h}$ ― тождественное отображение на ${\displaystyle B}$ называется сечением расслоения ${\displaystyle \pi :X\to B}$,

Типы расслоений

Как правило, изучаются конкретные типы расслоений, такие как гладкое расслоение или локально тривиальное расслоение.

Расслоение называется тривиальным (выглядящим как прямое произведение), если его пространство гомеоморфно прямому произведению ${\displaystyle B\times F}$, а проекция задаётся каноническим образом: ${\displaystyle \pi (b,f)=b,\quad b\in B,~f\in F}$

Соответственно расслоение, локально (в некоторых окрестностях элементов) выглядящее как прямое произведение, называется локально-тривиальным расслоением.

Локально-тривиальное расслоение называется гладким, если функции переходов являются гладкими.

Векторное расслоение — отображение семейства векторных пространств в другое пространство (топологическое пространство, многообразие и так далее) ${\displaystyle X}$ так, что каждой точке ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle X}$ сопоставляется векторное пространство ${\displaystyle V_{x}}$, объединение которых образует пространство такого же типа, что и ${\displaystyle X}$. Образованное таким образом семейство векторных пространств называемое пространством векторного расслоения над ${\displaystyle X}$.

Касательное расслоение (гладкого) многообразия ${\displaystyle M}$ — это гладкое векторное расслоение, где в качестве семейства векторных пространств (пространства векторного расслоения) выступает объединение касательных пространств ${\displaystyle TM}$, а в качестве базы расслоения — само многообразие.

Некоторые другие специальные виды расслоений: расслоение Гуревича, расслоение Зейферта, расслоение Серра, расслоение Хопфа.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.