Символическая динамика

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы (см. ниже).

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Схема левого сдвига Бернулли ${\displaystyle \omega '=\sigma (\omega )}$ над пространством ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть ${\displaystyle \Sigma _{s}^{+}}$ — пространство последовательностей в алфавите ${\displaystyle \{1,\dots ,s\}}$, то есть,

${\displaystyle \Sigma _{s}^{+}=\{(\omega _{j})_{j=1}^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\}.}$

Сдвигом Бернулли называется динамическая система ${\displaystyle (\Sigma _{s}^{+},\sigma )}$, где ${\displaystyle \sigma }$ — отображение левого сдвига,

${\displaystyle (\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{j+1}.\qquad (*)}$

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

${\displaystyle \Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{j=-\infty }^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\};}$

получающуюся динамическую систему ${\displaystyle (\Sigma _{s},\sigma )}$ также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

${\displaystyle X=\bigsqcup _{i=1}^{N}B_{i},}$

любой точке ${\displaystyle x\in X}$ может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

${\displaystyle x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{i_{k}}.\qquad (*)}$

При этом для необратимых динамических систем естественно рассматривать односторонние последовательности ${\displaystyle (i_{k})}$ односторонняя, то есть ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$ Для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Отображение ${\displaystyle h:X\to \Sigma _{N}}$ или ${\displaystyle h:X\to \Sigma _{N}^{+}}$, заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

${\displaystyle h\circ f=\sigma \circ h,}$

Где ${\displaystyle \sigma }$ — сдвиг Бернулли.

Отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным. Тем не менее, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве ${\displaystyle \Sigma _{N}}$ или на его части.

Литература

• П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
• В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.