Масштабная инвариантность

Масштабная инвариантность (скейлинг) — свойство уравнений физики сохранять свой вид при изменении всех расстояний и промежутков времени в одинаковое число раз, то есть^[1]

${\displaystyle x\rightarrow k\cdot x\,\,\,\,y\rightarrow k\cdot y\,\,\,\,z\rightarrow k\cdot z\,\,\,\,t\rightarrow k\cdot t}$

Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$ при уменьшении c.

Причём здесь подразумевается лишь изменение единиц измерения, само пространство-время остаётся неизменным. Такие изменения называются преобразованиями подобия и образуют группу масштабных преобразований.

Преобразование физических величин

При масштабном преобразовании одни физические величины остаются неизменными, а другие изменяются в соответствии со своей размерностью. Причём здесь имеется в виду размерность, несколько отличная от размерности СИ, поскольку, например, заряд в принципе не может меняться при масштабном преобразовании, но в СИ его единица является производной от единицы времени.

К масштабно инвариантным величинам относятся:

• безразмерные величины
• масса: ${\displaystyle m\rightarrow m}$
• энергия: ${\displaystyle E\rightarrow E}$
• заряд: ${\displaystyle q\rightarrow q}$
• температура: ${\displaystyle T\rightarrow T}$

Изменяются при масштабном преобразовании:

• площадь: ${\displaystyle S\rightarrow k^{2}\cdot S}$
• объём: ${\displaystyle V\rightarrow k^{3}\cdot V}$
• плотность тока: ${\displaystyle {\vec {j}}\rightarrow k^{-3}\cdot {\vec {j}}}$
• векторный потенциал: ${\displaystyle {\vec {A}}\rightarrow k^{-1}\cdot {\vec {A}}}$

Масштабная инвариантность в различных науках

Математика

В математике понятие масштабной инвариантности обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых по отношению к преобразованию подобия. Также близким по смыслу является понятие самоподобие. Кроме того, некоторые распределения вероятностей случайных процессов, демонстрируют масштабную инвариантность или самоподобие.

Классическая теория поля

В классической теории поля под масштабной инвариантностью часто понимается инвариантность всей теории относительно преобразований подобия. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характеристической длины.

Квантовая теория поля

В квантовой теории поля масштабная инвариантность интерпретируется в терминах физики элементарных частиц. В масштабно-инвариантной теории, сила взаимодействия частиц не должна зависеть от их энергии.^[2]

Статистическая физика

В статистической физике масштабная инвариантность встречается дважды.

Во-первых, это свойство фазовых переходов. Ключевым элементом здесь является то, что вблизи фазового перехода или критической точки имеют место флуктуации любого масштаба, и поэтому следует искать явно масштабно-инвариантную теорию для описания этих явлений.

Во-вторых, это свойство распределения открытого статистического ансамбля (ОСА). Здесь общий член распределения вложенной подсистемы соответствует такому же для исходной системы.

Нарушение масштабной инвариантности

Масштабные ограничения

Уравнения классической физики являются масштабно инвариантными, если в их решения входит масса или другие размерные параметры, не меняющиеся при масштабном преобразовании. Например, уравнения Максвелла.

Уравнения квантовой физики, например, уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака, масштабно инвариантны только для расстояний, малых по сравнению с комптоновской длиной волны ${\displaystyle \lambda _{C}}$ соответствующих частиц, и промежутков времени, малых по сравнению с ${\displaystyle {\frac {\lambda _{C}}{c}}}$.

Глубоко неупругие процессы

Нарушения масштабной инвариантности обнаружены при столкновений частиц. В физике элементарных частиц рассматривают несколько альтернативных не масштабно инвариантных скейлингов:

• скейлинг Бьёркена
• скейлинг Фейнмана
• скейлинг Кобы — Нильсена — Олесена (KNO-скейлинг)

См. также

• Безмасштабная сеть
• Степенной закон