Скорость сходимости

Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.

Понятие скорости сходимости

Пусть ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ — сходящаяся последовательность приближений некоторого алгоритма нахождения корня уравнения или экстремума функции ${\displaystyle x^{*}}$, тогда:

Говорят, что метод обладает линейной сходимостью, если ${\displaystyle \exists \alpha \in (0,\;1):\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||}$.

Говорят, что метод обладает сходимостью степени ${\displaystyle \beta }$, если ${\displaystyle \exists \alpha \in (0,\;1]:\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }}$.

Отметим, что обычно скорость сходимости методов не превышает квадратичной. В редких случаях метод может обладать кубической скоростью сходимости (метод Чебышёва).

Практическое определение

Пусть ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ — последовательность приближений рассматриваемого алгоритма нахождения корня ${\displaystyle x^{*}}$ некоторого уравнения, тогда скорость сходимости ${\displaystyle \beta }$ определяют из уравнения:

${\displaystyle ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }}$

Для упрощения его переписывают в виде:

${\displaystyle \log ||x_{n}-x^{*}||<\log \alpha +\beta \log ||x_{n-1}-x^{*}||}$

Непосредственно скорость сходимости оценивают по тангенсу угла наклона логарифмического графика зависимости ${\displaystyle ||x_{n}-x^{*}||}$ от ${\displaystyle ||x_{n-1}-x^{*}||}$.

Литература по теме

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
3. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.