След (теория полей)

У этого термина существуют и другие значения, см. След.

След (англ. Trace) — отображение элементов конечного расширения поля ${\displaystyle E\supset K}$ в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени ${\displaystyle n=[E:K]}$, ${\displaystyle \alpha \in E}$ — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )}$ или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто ${\displaystyle {\text{Tr}}(\alpha )}$.

Свойства следа

• ${\displaystyle {\text{Tr}}(\alpha +\beta )={\text{Tr}}(\alpha )+{\text{Tr}}(\beta )}$
• ${\displaystyle {\text{Tr}}(c\alpha )=c{\text{Tr}}(\alpha )}$ при ${\displaystyle c\in K}$
• Если Е — сепарабельное расширение, то ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}}$ — ненулевой функционал, если несепарабельно, то ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}=0}$.
• След транзитивен, то есть для цепочки расширений ${\displaystyle K\subset E\subset F}$ имеем ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}({\text{Tr}}_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr}}_{K}^{F}(\alpha )}$
• Если ${\displaystyle E=K(\alpha )}$ — простое алгебраическое расширение и ${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ — минимальный многочлен α, то ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )=-a_{n-1}}$

Выражение следа через автоморфизмы E над K

Пусть σ₁,σ₂…σ_m — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:

${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )}$

Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pⁱm.

Тогда ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}}$

Пример

Пусть K — поле действительных чисел, а E — поле комплексных чисел. Тогда след числа ${\displaystyle a+bi}$ равен ${\displaystyle 2a}$. След комплексного числа можно вычислить по формуле ${\displaystyle {\text{Tr}}\;z=z+{\bar {z}}}$, и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение — единственный автоморфизм поля комплексных чисел.

См. также

• Норма (теория полей)

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967