Слово Фибоначчи

Слово Фибоначчи — это некоторая последовательность двоичных цифр (или символов из любого двухбуквенного алфавита). Слово Фибоначчи формируется путём повторения конкатенации тем же образом, что и числа Фибоначчи образуются путём повторяемых сложений.

Описание посредством последовательности пересечений^[англ.] с прямой, имеющей наклон ${\displaystyle 1/\varphi }$ или ${\displaystyle \varphi -1}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — золотое сечение.

Слово Фибоначчи является хрестоматийным примером слова Штурма^[англ.].

Название «слово Фибоначчи» используется также для обозначения членов формального языка L, содержащего строки из нулей и единиц без рядом стоящих единиц. Любая часть конкретного слова Фибоначчи принадлежит L, но в языке много и других строк. В языке L число строк каждой возможной длины является числом Фибоначчи.

Определение

Пусть ${\displaystyle S_{0}}$ равно «0», а ${\displaystyle S_{1}}$ равно «01». Теперь ${\displaystyle S_{n}=S_{n-1}S_{n-2}}$ (конкатенация предыдущего члена и члена до него).

Бесконечное слово Фибоначчи — это предел ${\displaystyle S_{\infty }}$.

Перечисление членов последовательности из определения выше даёт:

${\displaystyle S_{0}}$    0

${\displaystyle S_{1}}$    01

${\displaystyle S_{2}}$    010

${\displaystyle S_{3}}$    01001

${\displaystyle S_{4}}$    01001010

${\displaystyle S_{5}}$    0100101001001

…

Первые несколько элементов бесконечного слова Фибоначчи:

0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, … (последовательность A003849 в OEIS)

Выражение в замкнутой форме для конкретных цифр

Цифра с номером n слова равна ${\displaystyle 2+\left\lfloor {{n}\,\varphi }\right\rfloor -\left\lfloor {\left({n+1}\right)\,\varphi }\right\rfloor }$, где ${\displaystyle \varphi }$ — золотое сечение, а ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ — функция «floor» («пол»).

Правила подстановки

Другой способ перехода от S_n к S_n + 1 — замена каждого символа 0 в S_n парой символов 0, 1 и замена каждого 1 на 0.

Альтернативно, можно представить генерацию всего бесконечного слова Фибоначчи с помощью следующего процесса. Начинаем с символа 0, на него устанавливаем курсор. На каждом шаге, если курсор указывает на 0, добавляем 1 и 0 в конец слова, а если курсор указывает на 1, добавляем 0 в конец слова. В любом случае шаг завершается передвижением на одну позицию вправо.

Похожее бесконечное слово иногда называется золотой струной или кроличьей последовательностью, образуется аналогичным бесконечным процессом, но правило замены другое — если курсор указывает на 0, добавляем 1, а если указывает на 1, добавляем 0, 1. Результирующая последовательность начинается с

0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, …

Однако эта последовательность отличается от слова Фибоначчи тривиально — нули заменяются на единицы и вся последовательность сдвигается на единицу.

Выражение в замкнутой форме для золотой струны:

Цифра с номером n слова равна ${\displaystyle \left\lfloor {{n}\,\varphi }\right\rfloor -\left\lfloor {\left({n-1}\right)\,\varphi }\right\rfloor -1}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — золотое сечение, а ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ — функция «floor».

Обсуждение

Слово связано со знаменитой последовательностью с тем же именем (последовательность Фибоначчи) в том смысле, что сложение целых чисел в индуктивном определении заменяется конкатенацией строк. Это приводит к тому, что длина S_n равна F_n + 2, (n + 2)-ому числу Фибоначчи. Также число единиц в S_n равно F_n, а число нулей в S_n равно F_n + 1.

Другие свойства

• Бесконечное слово Фибоначчи не является периодическим и не является финально периодическим^[1].
• Две последних цифры слова Фибоначчи либо «01», либо «10».
• Удаление двух последних букв слова Фибоначчи или добавление в начало дополнения двух последних букв создаёт палиндром. Пример: 01${\displaystyle S_{4}}$=0101001010 является палиндромом. Палиндромическая плотность бесконечного слова Фибоначчи равна 1/φ, где φ — золотое сечение. Это наибольшее возможное значение для непериодических слов^[2].
• В бесконечном слове Фибоначчи отношение (число цифр)/(число нулей) равно φ, так же, как и отношение числа нулей к числу единиц.
• Бесконечное слово Фибоначчи является сбалансированной последовательностью^[англ.]. Возьмём две подстроки той же самой длины где-либо в слове Фибоначчи. Разница между их весами Хэмминга (число единиц) никогда не превышает 1^[3].
• Подслова 11 и 000 никогда не встречаются.
• Функция сложности^[англ.] бесконечного слова Фибоначчи равна n+1 — оно содержит n+1 различных подслов длины n. Пример: Имеется 4 различных подслов длины 3 : «001», «010», «100» и «101». Будучи непериодической последовательностью, слово имеет «минимальную сложность», а потому является словом Штурма^{[англ.][4]} с наклоном ${\displaystyle 1/\phi ^{2}}$. Бесконечное слово Фибоначчи является стандартным словом^[англ.], образованным директивной последовательностью^[англ.] (1,1,1,….).
• Бесконечное слово Фибоначчи рекуррентно. То есть любое подслово встречается бесконечно часто.
• Если ${\displaystyle u}$ является подсловом бесконечного слова Фибоначчи, то подсловом является его обратное, обозначаемое ${\displaystyle u^{R}}$.
• Если ${\displaystyle u}$ является подсловом бесконечного слова Фибоначчи, то наименьший период ${\displaystyle u}$ является числом Фибоначчи.
• Конкатенация двух последовательностей слов Фибоначчи «почти коммутативна». ${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}S_{n-1}}$ и ${\displaystyle S_{n-1}S_{n}}$ отличаются только в последних двух буквах.
• Как следствие, бесконечное число Фибоначчи может быть описано последовательностью сечений прямой с наклоном ${\displaystyle \phi }$ или ${\displaystyle \phi -1}$. См. рисунок выше.
• Число 0,010010100…, десятичные цифры которого являются цифрами бесконечного слова Фибоначчи, трансцендентно.
• Буквы «1» можно найти в позициях, задаваемых последовательными значениями верхней последовательности Витхоффа (OEIS A001950): ${\displaystyle \lfloor n\phi ^{2}\rfloor }$
• Буквы «0» можно найти в позициях, задаваемых последовательными значениями нижней последовательности Витхоффа (OEIS A000201): ${\displaystyle \lfloor n\phi \rfloor }$
• Распределение ${\displaystyle n=F_{k}}$ точек на единичной окружности, размещённых последовательно по часовой стрелке на золотой угол ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\phi ^{2}}}}$, образует шаблон из двух длин ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\phi ^{k-1}}},{\frac {2\pi }{\phi ^{k}}}}$ на единичной окружности. Хотя описанный выше процесс образования слова Фибоначчи не соответствует напрямую последовательному делению сегментов окружности, этот шаблон равен ${\displaystyle S_{k-1}}$, если начинать с точки, ближайшей по часовой стрелке, при этом 0 соответствует длинному расстоянию, а 1 соответствует короткому расстоянию.
• Бесконечное слово Фибоначчи может содержать повторение 3 последовательных идентичных подслов, но никогда не содержит 4 таких подслова. Критический индекс^[англ.] для бесконечного слова Фибоначчи равен ${\displaystyle 2+\phi =3,618}$ повторений^[5]. Это наименьший индекс (или критический индекс) среди всех слов Штурма.
• Бесконечное слово Фибоначчи часто упоминается как худший случай^[англ.] для алгоритмов выявления повторений в строке.
• Бесконечное слово Фибоначчи является морфическим словом^[англ.], образованным из {0,1}* путём эндоморфизма 0 → 01, 1 → 0^[6].

Приложения

Построения слов Фибоначчи используются для моделирования физических систем с непериодическим порядком, таких как квазикристаллы, и изучения свойств рассеяния света кристаллов со слоями Фибоначчи^[7].

См. также

• Математика и изобразительное искусство
• Слово трибоначчи^[англ.]