Смешанная частная производная

Определение

Пусть функция ${\displaystyle z=f(x,\;y)}$, и её частные производные

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}}}$

определены в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$. Тогда предел

${\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle {{\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x}}-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x}}}}{\Delta y}},}$

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции ${\displaystyle f(x,\;y)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ и обозначается ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}}$.

Аналогично определяется ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}}$ как

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle {{\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y}}-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y}}}}{\Delta x}},}$

если он существует.

Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.^{[уточнить]}

Обозначение

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}=f''_{yx}=z''_{yx}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=f''_{xy}=z''_{xy}}$

Свойства

• Если смешанные производные непрерывны в точке, то имеет место равенство ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$ .

Пример Шварца

${\displaystyle f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}},\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial x\partial y}}=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x}}}$

То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.

• Имеет место теорема о равенстве смешанных производных

Теорема Шварца

Основная статья: Равенство смешанных производных

Пусть выполнены условия:

1. функции ${\displaystyle z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$ определены в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$.
2. ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$ непрерывны в точке ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$.

Тогда ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}}$, то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

• Тем не менее, условие непрерывности смешанных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.

Пример

${\displaystyle f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow }$ смешанные производные второго порядка равны всюду (в том числе и в точке ${\displaystyle (0,\;0)}$), однако частные производные второго порядка не являются непрерывными в точке ${\displaystyle (0,\;0)}$

Доказательство

Так как ${\displaystyle f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y}}(0,\;0)=0}$

В остальных точках

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\;y)={\frac {2xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} }$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0}$

При ${\displaystyle (x,\;y)\neq (0,\;0)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}}$

Легко видеть, что вторая смешанная производная имеет разрыв в точке ${\displaystyle (0,\;0)}$, так как

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,\;x)=1}$, а, например,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,\;-x)=-1}$

^[1].