Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — одна из форм представления функции алгебры логики (булевой функции) в виде логического выражения. Представляет собой частный случай КНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям:

·       в ней нет одинаковых множителей (элементарных дизъюнкций);

·       в каждом множителе нет повторяющихся переменных;

·       каждый множитель содержит все переменные, от которых зависит булева функция (каждая переменная может входить в множитель либо в прямой, либо в инверсной форме).

Любая булева формула, не являющаяся тождественно истинной, может быть приведена к СКНФ.^[1].

Пример нахождения СКНФ

Для того, чтобы получить СКНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности статьи минимизация логических функций методом Квайна:

${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle x_{3}}$	${\displaystyle x_{4}}$	${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	1

В ячейках строки́ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$ отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние нуля.

Четвёртая строка содержит 0 в указанном поле. Отмечаются значения всех четырёх переменных, это:

• ${\displaystyle x_{1}=0}$
• ${\displaystyle x_{2}=0}$
• ${\displaystyle x_{3}=1}$
• ${\displaystyle x_{4}=1}$

В дизъюнкцию записывается переменная без инверсии, если она в наборе равна 0, и с инверсией, если она равна 1. Первый член СКНФ рассматриваемой функции выглядит так: ${\displaystyle x_{1}\vee x_{2}\vee {\overline {x_{3}}}\vee {\overline {x_{4}}}}$

Остальные члены СКНФ составляются по аналогии:^[2]

${\displaystyle ({x_{1}}\lor {x_{2}}\lor {\overline {x_{3}}}\lor {\overline {x_{4}}})\land ({x_{1}}\lor {\overline {x_{2}}}\lor {x_{3}}\lor {x_{4}})\land ({x_{1}}\lor {\overline {x_{2}}}\lor {x_{3}}\lor {\overline {x_{4}}})\land ({x_{1}}\lor {\overline {x_{2}}}\lor {\overline {x_{3}}}\lor {\overline {x_{4}}})\land }$

${\displaystyle ({\overline {x_{1}}}\lor {x_{2}}\lor {x_{3}}\lor {x_{4}})\land ({\overline {x_{1}}}\lor {x_{2}}\lor {x_{3}}\lor {\overline {x_{4}}})\land ({\overline {x_{1}}}\lor {x_{2}}\lor {\overline {x_{3}}}\lor {x_{4}})\land ({\overline {x_{1}}}\lor {x_{2}}\lor {\overline {x_{3}}}\lor {\overline {x_{4}}})\land }$

${\displaystyle ({\overline {x_{1}}}\lor {\overline {x_{2}}}\lor {x_{3}}\lor {x_{4}})\land ({\overline {x_{1}}}\lor {\overline {x_{2}}}\lor {x_{3}}\lor {\overline {x_{4}}})}$

См. также

• Конъюнктивная нормальная форма
• Дизъюнктивная нормальная форма
• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма