Совершенное поле

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.

2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.

3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.

4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.

5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.

6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.

В противном случае поле называется несовершенным.

Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.

Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом.^[1] (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью).

Примеры

• Все поля характеристики ноль являются совершенными, например, поле рациональных чисел.
• Все конечные поля.
• Все алгебраически замкнутые поля.
• Алгебраические расширения совершенного поля также являются совершенными.

Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p-й корень из x.

Совершенное замыкание

В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни p^r-й степени (r≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$.

В терминах универсального свойства, совершенное замыкание кольца ${\displaystyle A}$ характеристики ${\displaystyle p}$ — это совершенное кольцо ${\displaystyle A_{p}}$ характеристики ${\displaystyle p}$ вместе с гомоморфизмом колец ${\displaystyle u:A\to A_{p}}$, таким что для любого совершенного кольца ${\displaystyle B}$ характеристики ${\displaystyle p}$ с гомоморфизмом ${\displaystyle v:A\to B}$ существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle f:A_{p}\to B}$, такой что ${\displaystyle v=f\circ u}$. Совершенное замыкание существует для любого кольца^[2], следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.