Состояние Белла

Состояние Белла — определённое состояние двух кубитов; простейший пример квантовой запутанности.

Квантовая схема для создания состояния Белла.

Названо в честь Джона Стюарта Белла.

Определение

Состояние Белла — одно из следующих четырёх квантовых состояний двух кубитов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

${\displaystyle |\beta _{00}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|00\rangle +|11\rangle ),}$

${\displaystyle |\beta _{01}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|01\rangle +|10\rangle ),}$

${\displaystyle |\beta _{10}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|00\rangle -|11\rangle ),}$

${\displaystyle |\beta _{11}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|01\rangle -|10\rangle ).}$

Замечания

• Состояние Белла ${\displaystyle |\beta _{ij}\rangle }$ можно получить, подав состояние ${\displaystyle |ij\rangle }$ на схему с элементом Адамара и CNOT на рисунке.
• Состояния Белла образуют ортонормированный базис в четырёхмерном гильбертовом пространстве, известный как базис Белла.
• Измерение в базисе Белла называется измерением Белла. Измерение Белла можно произвести используя обратную схему к схеме на рисунке.

Приложения

Обозначим через ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Z}$ матрицы Паули: ${\displaystyle I}$ — тождественное преобразование, ${\displaystyle X|0\rangle =|1\rangle }$, ${\displaystyle X|1\rangle =|0\rangle }$ и ${\displaystyle Z|0\rangle =|0\rangle }$, ${\displaystyle Z|1\rangle =-|1\rangle }$

• Квантовое сверхплотное кодирование основано на тождествах

  ${\displaystyle (I\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{00}\rangle ,}$

  ${\displaystyle (X\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{01}\rangle ,}$

  ${\displaystyle (Z\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{10}\rangle ,}$

  ${\displaystyle (Z\cdot X\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{11}\rangle ,}$

• Квантовая телепортация основана на тождестве

  ${\displaystyle |\phi \rangle \otimes |\beta _{00}\rangle ={\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{00}\rangle \otimes |\phi \rangle +{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{01}\rangle \otimes (X|\phi \rangle )+{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{10}\rangle \otimes (Z|\phi \rangle )+{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{11}\rangle \otimes (X\cdot Z|\phi \rangle ).}$

• Квантовая криптография

Литература

• Кайе Ф., Лафламм Р., Моска М. Введение в квантовые вычисления. — Ижевск: РХД, 2009. — 360 с.