Сохраняющийся ток

Сохраняющийся ток — понятие, используемое в математическом аппарате физики, для описания процессов переноса сохраняющейся физической величины, например электрического заряда.^[1] В математических векторных обозначениях он обозначается как величина ${\displaystyle j^{\mu }}$, которая удовлетворяет уравнению непрерывности ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$.^[1] Уравнение непрерывности представляет собой закон сохранения, откуда и произошло название для сохраняющегося тока.

Сохраняющийся ток
Определяющая формула	${\displaystyle {\partial \over \partial t}Q=0\;}$

Действительно, интегрирование уравнения непрерывности по объёму ${\displaystyle V}$ c поверхностью, через которую не текут токи, приводит к закону сохранения: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q=0,}$$ где ${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$ — сохраняющаяся величина.

В калибровочных теориях калибровочные поля рассматриваются совместно с сохраняющимися токами.^[2] Например, электромагнитное поле рассматривается совместно с сохраняющимся электрическим током.

Сохраняемые величины и симметрии

Сохраняющийся ток — это поток канонически сопряжённой величины, обладающей непрерывной трансляционной симметрией. Уравнение непрерывности для сохраняющегося тока является математической формулировкой закона сохранения. Примерами канонически сопряжённых величин являются:

• время и энергия: непрерывная трансляционная симметрия (однородность) времени подразумевает сохранение энергии;
• пространство и импульс: непрерывная трансляционная симметрия (однородность) пространства подразумевает сохранение импульса;
• пространство и угловой момент: непрерывная «вращательная» симметрия (однородность относительно вращений) пространства подразумевает сохранение углового момента.

Сохраняющиеся токи играют важную роль в теоретической физике, так как, согласно теореме Нётер, существование сохраняющегося тока связано с существованием симметрии некоторой величины в исследуемой системе. С практической точки зрения все сохраняющиеся токи являются нётеровыми токами, поскольку существование сохраняющегося тока подразумевает существование симметрии. Сохраняющиеся токи играют важную роль в теории дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку существование сохраняющегося тока указывает на существование интегралов движения, которые необходимы для интегрируемости системы. Закон сохранения выражается как обращение в нуль 4-дивергенции, где нётеров заряд образует нулевую составляющую 4-тока.

Сохраняющиеся токи в электромагнетизме

Сохранение заряда, например, в обозначениях уравнений Максвелла:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

где ${\displaystyle \rho }$ — плотность электрического заряда, ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} }$ — плотность тока (${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорость зарядов).

См. также

• Законы сохранения
• Теорема Нётер