Присоединённая матрица

Присоединённая (союзная, взаимная) матрица — матрица ${\displaystyle {C}^{*}}$, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, так как понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

${\displaystyle {C}^{*}={\begin{pmatrix}{A}_{11}&{A}_{21}&\cdots &{A}_{n1}\\{A}_{12}&{A}_{22}&\cdots &{A}_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{A}_{1n}&{A}_{2n}&\cdots &{A}_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Исходная матрица:

${\displaystyle {A}={\begin{pmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&\cdots &{a}_{1n}\\{a}_{21}&{a}_{22}&\cdots &{a}_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{a}_{n1}&{a}_{n2}&\cdots &{a}_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Где:

• ${\displaystyle {C}^{*}}$ — присоединённая (союзная, взаимная) матрица;
• ${\displaystyle {A}_{ij}}$ — алгебраические дополнения исходной матрицы;
• ${\displaystyle {a}_{ij}}$ — элементы исходной матрицы.

Эта матрица нужна для вычисления обратной матрицы:

${\displaystyle {A}^{-1}={{{C}^{*}} \over {\det(A)}}}$

где ${\displaystyle \det(A)}$ — определитель матрицы ${\displaystyle A}$.

Обозначение

• ${\displaystyle {C}^{*}}$
• ${\displaystyle {C}^{c}}$
• ${\displaystyle {C}^{v}}$
• A^*
• ${\displaystyle \operatorname {adj} A}$

См. также

• Обратная матрица
• Алгебраическое дополнение
• Линейная алгебра

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966.