Спектральная плотность

Спектра́льная пло́тность — базирующееся на преобразовании Фурье представление зависящих от времени сигналов (как детерминированных, так и случайных процессов) в виде спектров. Используется в статистической радиотехнике и физике.

Если сигнал ${\displaystyle x(t)}$ детерминированный и имеет конечную энергию, то спектральная плотность есть преобразование Фурье от него:

${\displaystyle F(\omega )=\int \limits _{0}^{T}x(t)e^{-i\omega t}dt.}$

Функция ${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{T}}|F(\omega )|^{2}}$ характеризует, таким образом, распределение энергии сигнала по оси частот и называется спектральной плотностью мощности сигнала.

Если сигнал ${\displaystyle x(t)}$ случайный и имеет длительность ${\displaystyle T}$, то спектральная плотность есть преобразование Фурье от его реализаций:

${\displaystyle F_{i}(f)=\int \limits _{0}^{T}x_{i}(t)e^{-i\omega t}dt,}$

где ${\displaystyle x_{i}(t)}$ — ${\displaystyle i}$-ая реализация случайного процесса ${\displaystyle x(t)}$.

Так как ${\displaystyle F_{i}(\omega )}$ зависит от формы реализации случайного процесса, то для получения универсальной характеристики используют усреднение квадрата модуля ${\displaystyle F_{i}(\omega )}$ по всем реализациям случайного процесса.

${\displaystyle G(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \{|F_{i}(\omega )|^{2}\}}$

называется спектральной плотностью мощности процесса, ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \}}$ — математическое ожидание.

См. также

• Спектральная плотность излучения

Литература

• Зюко, А. Г., Кловский, Д. Д., Назаров, М. В., Финк, Л. М. Теория передачи сигналов. — М.: Связь, 1980. — 288 с.
• Тихонов, В. И., Харисов, В. Н.. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — М.: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2.
• Тихонов, В. И., Бакаев, Ю. Н.. Статистическая теория радиотехнических устройств. — М.: ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.