Спектральная последовательность Гротендика

Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов ${\displaystyle G\circ F}$ по производным функторам F и G.

Если ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ и ${\displaystyle G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ — аддитивные точные слева функторы между абелевыми категориями, такие, что ${\displaystyle F}$ переводит инъективные объекты в ${\displaystyle G}$-ацикличные (то есть те, на которых зануляются функторы ${\displaystyle R^{p}G}$ при ${\displaystyle p>0}$) и если в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ достаточно много инъективных объектов, то для каждого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, имеющего инъективную резольвенту, существует точная последовательность:

${\displaystyle E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A).}$

Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются частными случаями спектральной последовательности Гротендика, например, спектральная последовательность Лере^[англ.].

Примеры

Спектральная последовательность Лере

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — топологические пространства, пусть

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)}$ — категории пучков абелевых групп на X и Y, соответственно и

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Ab} }$ — категория абелевых групп.

Для непрерывного отображения

${\displaystyle f:X\to Y}$

существует (точный слева) функтор прямого образа

${\displaystyle f_{*}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)}$.

Мы также имеем функторы глобальных сечений

${\displaystyle \Gamma _{X}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} }$,

и

${\displaystyle \Gamma _{Y}:\mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .}$

Тогда так как

${\displaystyle \Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}}$

и функторы ${\displaystyle f_{*}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ удовлетворяют предположениям теоремы (так как функтор прямого образа имеет точный левый сопряжённый ${\displaystyle f^{-1}}$, прямые образы инъективных пучков инъективны и, в частности, ацикличны для функтора глобальных сечений), спектральная последовательность принимает вид:

${\displaystyle H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})}$

для пучка абелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$, и это в точности спектральная последовательность Лере.

Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext-ов

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучковый Ext: пусть F, G — пучки модулей над окольцованным пространством ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$; например, схемой. Тогда

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).}$^[1]

Это частный случай спектральной последоватеьлности Гротендика: действительно,

${\displaystyle R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)}$, ${\displaystyle R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)}$ и ${\displaystyle R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)}$.

Более того, ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)}$ переводит инъективные ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модули в вялые пучки,^[2] которые ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$-ацикличны. Следовательно, предположения удовлетворяются.