Список пределов

Это список пределов и правил их вычисления для основных функций. В перечисленных ниже примерах a и b являются константами относительно x.

Общие свойства пределов

Пусть ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$. Тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}}$, если ${\displaystyle L_{2}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{a}=L_{1}^{a}}$, если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$, если ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$, или ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty }$ (Правило Лопиталя)

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$ (определение производной)

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

Пределы, связанные с известными константами

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$ (константа Непера) — Второй замечательный предел

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }$ (пи), а если заменить самый внутренний радикал ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ на ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, то предел получится равным ${\displaystyle {2\pi \over 3}}$

Доказательство

Используя значение первого замечательного предела имеем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n+1}\sin {\pi \over 2^{n+1}}=\lim _{m\to \infty }m\sin {\pi \over m}=\lim _{m\to \infty }\pi {\sin {\pi \over m} \over {\pi \over m}}=\pi }$    (1)

Поскольку

${\displaystyle \cos {x}={\sqrt {{1 \over 2}(1+\cos {2x})}},x\in \left(0,{\pi \over 2}\right)}$

имеем

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{2}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 2}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{3}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 4}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{4}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 8}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}$

Применяя метод математической индукции, получаем

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N} }$

Отсюда

${\displaystyle \sin {\pi \over 2^{n+1}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\pi \over 2^{n+1}}}}={\sqrt {1-\left({1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2}}}}}} _{n}\right)^{2}}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}}$

Подставляя это выражение в (1), получаем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n+1}{1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\pi }$

Что и требовалось доказать. Для самого внутреннего радикала ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ вместо ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ доказательство аналогично, только вместо ${\displaystyle 2^{n+1}}$ надо брать ${\displaystyle 3\cdot 2^{n+1}}$.

Простые функции

${\displaystyle \lim _{x\to c}P(x)=P(c)}$, где ${\displaystyle P(x)}$ — многочлен.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=-\infty }$, если r нечётно, и ${\displaystyle +\infty }$, если r чётно.

Логарифмические и показательные функции

При ${\displaystyle a>1:}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=+\infty }$

Тригонометрические функции

${\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ — Первый замечательный предел

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to n\pm 0}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }$, если n — целое число.

Пределы в окрестности бесконечности

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a/x=0}$, при любом вещественном a.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$ и не существует при ${\displaystyle a=0}$.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&-1<a<1\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/a^{x}=0}$ при любом ${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\end{cases}}}$ и не существует, если ${\displaystyle a<0}$.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty }$ при любом ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$