Группа автоморфизмов свободной группы

Группа автоморфизмов свободной группы — группа, образованная всеми групповыми автоморфизмами некоторой свободной группы ${\displaystyle F_{n}}$ конечного ранга ${\displaystyle n}$ относительно операции композиции. Является одним из центральных объектов изучения комбинаторной теории групп и обозначается символом ${\displaystyle {\rm {Aut}}(F_{n})}$.

Преобразования Нильсена

Пусть ${\displaystyle F_{n}}$ — свободная группа с базисом ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$. Элементарными преобразованиями Нильсена называются автоморфизмы группы ${\displaystyle F_{n}}$ следующих типов:

• обмен некоторой пары образующих ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}}$ местами;
• замена одной из образующих ${\displaystyle x_{i}}$ на обратную ${\displaystyle x_{i}^{-1}}$;
• замена одной из образующих ${\displaystyle x_{i}}$ на произведение ${\displaystyle x_{i}x_{j}}$, где ${\displaystyle i\neq j}$.

Данные автоморфизмы порождают группу ${\displaystyle {\rm {Aut}}(F_{n})}$^[1].

Роль в теории кос

Автоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ свободной группы ${\displaystyle F_{n}}$ называется сплета́ющим (или косо́вым), если он удовлетворяет следующим условиям:

• найдется такая биекция ${\displaystyle \mu \colon \{1,2,\ldots ,n\}\to \{1,2,\ldots ,n\}}$, что для всех ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ элемент ${\displaystyle \varphi (x_{k})}$ сопряжен в ${\displaystyle F_{n}}$ с элементом ${\displaystyle x_{\mu (k)}}$;
• ${\displaystyle \varphi (x_{1}x_{2}\ldots x_{n})=x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}$.

Множество ${\displaystyle {\hat {B}}_{n}}$ всех сплетающих автоморфизмов группы ${\displaystyle F_{n}}$ является подгруппой группы ${\displaystyle {\rm {Aut}}(F_{n})}$ всех автоморфизмов:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n}<{\rm {Aut}}(F_{n})}$

Определим серию обратных друг к другу сплетающих автоморфизмов ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{n-1}}$ и ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{-1},{\hat {\sigma }}_{2}^{-1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{n-1}^{-1}}$ правилом

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}(x_{k}):={\begin{cases}x_{k+1},&k=i,\\x_{k}^{-1}x_{k-1}x_{k},&k=i+1,\\x_{k},&k\in \{1,\ldots ,n\}\setminus \{i,i+1\},\end{cases}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}^{-1}(x_{k}):={\begin{cases}x_{k}x_{k+1}x_{k}^{-1},&k=i,\\x_{k-1},&k=i+1,\\x_{k},&k\in \{1,\ldots ,n\}\setminus \{i,i+1\}.\end{cases}}}$

Гомоморфизм ${\displaystyle B_{n}\to {\hat {B}}_{n}}$ из группы кос в группу сплетающих автоморфизмов, заданный на образующих Артина правилом ${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto {\hat {\sigma }}}$, является изоморфизмом^[2].