Среднее кубическое

Среднее кубическое (также средняя кубическая^[1]) — число ${\displaystyle x}$, равное кубическому корню из среднего арифметического кубов данных чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$:

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}}{n}}}}$

Свойства

Среднее кубическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}}{n}}}}$

Применение

Среднее кубическое является характеристикой объёмных признаков. Может использоваться, например, для расчёта среднего объёма предметов по их диаметрам. Так, если известны диаметры яиц, то их средний объём может быть рассчитан с помощью среднего кубического^[1]. Среднее кубическое находит применение в статистике^[2].

Среднее кубическое для функции

Среднее кубическое можно также определить для непрерывной функции ${\displaystyle f(t)}$, заданной на отрезке ${\displaystyle [T_{1},\,T_{2}]}$, по формуле

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}f^{3}(t)\,dt,}}}$

а также для непрерывной функции ${\displaystyle f(t)}$, определённой на положительной полуоси:

${\displaystyle x=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}f^{3}(t)\,dt.}}}$

Среднее кубическое для периодической функции по положительной полуоси равно среднему кубическому по периоду функции.

Пример вычисления

Рассмотрим функцию синуса

${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t),}$

где ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle A}$ — амплитуда, а ${\displaystyle \omega }$ — частота в радианах на единицу времени. Тогда

${\displaystyle \omega ={\dfrac {2\pi }{T}}}$

и среднее кубическое вычисляется как

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}A^{3}\sin ^{3}\left({\dfrac {2\pi }{T}}t\right)\,dt}}={\dfrac {A}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}{\sqrt[{3}]{\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{3}(t)\,dt.}}}$