Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики^[1].

Статистическая гипотеза — гипотеза о виде распределения и свойствах случайной величины, которую можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки^[1].

Статистические гипотезы

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина ${\displaystyle X}$, распределение которой ${\displaystyle \mathbb {P} }$ полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно ${\displaystyle \mathbb {P} }$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение ${\displaystyle \mathbb {P} }$, то есть ${\displaystyle H:\;\{\mathbb {P} =\mathbb {P} _{0}\}}$, где ${\displaystyle \mathbb {P} _{0}}$— какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения ${\displaystyle \mathbb {P} }$ к некоторому семейству распределений, то есть вида ${\displaystyle H:\;\{\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}\}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу ${\displaystyle H_{0}}$. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза ${\displaystyle H_{1}}$, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ фиксированного объема ${\displaystyle n\geq 1}$ для распределения ${\displaystyle \mathbb {P} }$. В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример

Пусть дана независимая выборка ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1)}$ из нормального распределения, где ${\displaystyle \mu }$ — неизвестный параметр. Тогда ${\displaystyle H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}}$, где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней ${\displaystyle H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}}$ — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ и конкурирующей гипотезы ${\displaystyle H_{1}}$.
2. Задание уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
3. Расчёт статистики ${\displaystyle \phi }$ критерия такой, что:
   • её величина зависит от исходной выборки ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots ,X_{n})}$;
   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$;
   • статистика ${\displaystyle \phi }$, как функция случайной величины ${\displaystyle \mathbf {X} }$, также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения.
4. Построение критической области. Из области значений ${\displaystyle \phi }$ выделяется подмножество ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство ${\displaystyle P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha }$. Это множество ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и называется критической областью.
5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику ${\displaystyle \phi }$ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ выносится решение об отвержении (или не отвержении) выдвинутой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$.

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами ${\displaystyle (-\infty ,\;x_{\alpha /2})\cup (x_{1-\alpha /2}\;+\infty )}$, где ${\displaystyle x_{\alpha /2},\;x_{1-\alpha /2}}$ находят из условий ${\displaystyle P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha }{2}},\quad P(\phi <x_{1-\alpha /2})=1-{\frac {\alpha }{2}}}$.
• Левосторонняя критическая область определяется интервалом ${\displaystyle (-\infty ,\;x_{\alpha })}$, где ${\displaystyle x_{\alpha }}$ находят из условия ${\displaystyle P(\phi <x_{\alpha })=\alpha }$.
• Правосторонняя критическая область определяется интервалом ${\displaystyle (x_{1-\alpha },\;+\infty )}$, где ${\displaystyle x_{1-\alpha }}$ находят из условия ${\displaystyle P(\phi <x_{1-\alpha })=1-\alpha }$.

См. также

• Ошибки первого и второго рода
• Статистический критерий
• Уровень значимости
• Статистическая мощность
• Квантиль