Статистический риск

Статистический риск — математическое ожидание функции потерь.

Виды статистического риска

В зависимости от способа усреднения выделяют следующие типы статистического риска R(u):

• средний риск или безусловный риск;
• условный риск.

Средний риск

Средний риск — это риск ${\displaystyle R\left(u\right)}$, определяемый по формуле:

${\displaystyle R\left(u\right)=\int \limits _{U}{\int \limits _{X}{C\left(u\left(Y\right),x\right)\cdot W\left(u\left(Y\right),x\right)dx}dY}}$,

где

${\displaystyle C\left(u\left(Y\right),x\right)}$ — функция потерь,

${\displaystyle Y}$ — реализация наблюдаемых данных на интервале времени ${\displaystyle \left[0,t\right)}$,

${\displaystyle u\left(\cdot \right)}$ — решающее правило или алгоритм обработки реализации наблюдаемых данных ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle x}$ — вектор информационных параметров, то есть параметров, в которых содержится информация,

${\displaystyle W\left(u\left(Y\right),x\right)}$ — совместная плотность вероятности ${\displaystyle u\left(Y\right)}$ и ${\displaystyle x}$.

Условные риски

Совместная плотность вероятности может быть записана с использованием условной плотности вероятности следующим образом (по формуле Байеса):

${\displaystyle W\left(u\left(Y\right),x\right)=W\left(x\mid u\left(Y\right)\right)\cdot W\left(u\left(Y\right)\right)}$.

Следовательно, средний риск ${\displaystyle R\left(u\right)}$ равен

${\displaystyle R\left(u\right)=\int \limits _{U}{\int \limits _{X}{C\left(u\left(Y\right),x\right)\cdot W\left(x\mid u\left(Y\right)\right)\cdot W\left(u\left(Y\right)\right)dx}dY}}$,

где условный риск ${\displaystyle R_{p}}$${\displaystyle _{s}(u)}$ вида

${\displaystyle R_{p}}$${\displaystyle _{s}(u)=\int \limits _{X}{C\left(u\left(Y\right),x\right)\cdot W\left(x\mid u\left(Y\right)\right)\cdot W\left(u\left(Y\right)\right)dx}}$

называется апостериорным риском.

Условный риск вида

${\displaystyle R(u)=\int \limits _{X}{C\left(u\left(Y\right),x\right)\cdot W\left(u\left(Y\right)\mid x\right)dx}}$

называется функцией риска.

Литература

• Перов А. И. (д.т.н). Статистическая теория радиотехнических систем / Рецезенты: д.т.н. профессор Юдин В.Н., к.т.н. профессор Бонч-Бруевич А. М.. — Учебник для ВУЗов. — М.:: Радиотехника, 2003. — 400 с. — ISBN 5-93108-047-3.
• Тихонов В. И. Оптимальный приём сигналов / Под ред. А. Б. Васильева (Рецензенты: доктор технических наук, профессор — И.Н. Амиантов, доктор технических. наук проф. Б. Н. Митящев). — М.: Радио и связь, 1983. — 320 с.