Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице.

Определения

• Матрица ${\displaystyle P=(P_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots }$ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

${\displaystyle P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall i}$.

• Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

${\displaystyle P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall j}$.

• Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Замечание

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Свойства

• Если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение ${\displaystyle R=PQ}$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{ij}=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}(\sum _{i=1}^{n}a_{ik})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}=1}$ , поскольку матрицы A и B стохастические.

Регулярная стохастическая матрица

Конечная стохастическая матрица ${\displaystyle P=(P_{ij}),\;i,j=1,\ldots ,N}$ называется регуля́рной, если существует такое ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, что

${\displaystyle p_{ij}^{(n)}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N}$,

где ${\displaystyle p_{ij}^{(n)}}$ — элементы ${\displaystyle n}$-ой степени матрицы ${\displaystyle P}$, то есть ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$.

Эргодическая теорема

Если ${\displaystyle P}$ — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор ${\displaystyle \mathbf {\pi } =(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})}$ такой, что

${\displaystyle P^{n}\to \mathbf {1} ^{\top }\mathbf {\pi } }$,

где ${\displaystyle \mathbf {1} =(1,\ldots ,1)}$ — вектор размерности ${\displaystyle 1\times N}$, состоящий из единиц.