Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных

Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных — обобщение дифференциального уравнения в частных производных за счёт введения случайных сил и коэффициентов аналогично тому, как обыкновенные стохастические дифференциальные уравнения служат обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений.

Они имеют значение для квантовой теории поля, статистической механики и пространственного моделирования^[1][2].

Примеры

Одним из наиболее изучаемых стохастических уравнений в частных производных является стохастическое уравнение теплопроводности^[3], которое может быть формально записано как

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ обозначает Лапласиан, а ${\displaystyle \xi }$ означает пространственно-временной белый шум. Другие примеры включают в себя стохастические версии известных линейных уравнений, таких как волновое уравнение^[4] и уравнение Шредингера^[5].

Проблемы

Одной из сложностей является их недостаточная регулярность. В одномерном пространстве решения стохастического уравнения теплопроводности являются почти на 1/2 непрерывными по Гёльдеру в пространстве и на 1/4 непрерывными по Гёльдеру во времени. Для размерностей два и выше решения даже не являются функциональными, но их можно интерпретировать как случайные распределения.

Для линейных уравнений обычно можно найти мягкое решение с использованием техник полугруппы^[6].

Однако проблемы начинаются при рассмотрении нелинейных уравнений. Например,

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

где ${\displaystyle P}$ является полиномом. В этом случае даже неясно, как следует интерпретировать уравнение. Такое уравнение также не будет иметь функциональное решение в размерности больше единицы, а значит, и не будет иметь точечного смысла. Известно, что пространство распределений не имеет структуры произведения. Это основная проблема такой теории. Это приводит к необходимости некоторой формы перенормировки.

Ранней попыткой обойти такие проблемы для некоторых конкретных уравнений был так называемый приём да Прато — Дебюше, который заключался в изучении таких нелинейных уравнений как возмущений линейных^[7]. Однако этот метод можно использовать только в очень ограниченных условиях, так как он зависит как от нелинейного фактора, так и от регулярности термина воздействующего шума. В последние годы область значительно расширилась, и теперь существует большой арсенал для гарантирования локального существования для различных субкритических стохастических уравнений в частных производных^[8].