Странное число

Странное число — натуральное число, которое является избыточным, но не является полусовершенным^[1]. Другими словами, сумма собственных делителей (делители, включая 1, но не включая себя) числа больше самого числа, но сложением подмножества делителей нельзя получить само число.

Самое маленькое странное число — 70. Его делители: 1, 2, 5, 7, 10, 14, и 35; их сумма 74, но сложением подмножества делителей нельзя получить 70. Число 12, к примеру, избыточное, но не странное, потому что делители 12 — это 1, 2, 3, 4 и 6, сумма которых равна 16; но 2+4+6 = 12.

Первые несколько странных чисел^[2] — 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10 430, … Было показано, что существует бесконечное количество странных чисел, и что последовательность странных чисел имеет положительную асимптотическую плотность^[3].

Неизвестно, существуют ли нечётные странные числа; но если они существуют, то должны быть больше 2³² ≈ 4⋅10^9[4]. В рамках проекта добровольных распределенных вычислений yoyo@home работает подпроект Odd Weird Search^[5] по поиску подобного числа в диапазоне до 10²⁸.

В 1976 году установлено, что если ${\displaystyle k}$ — целое положительное, ${\displaystyle Q}$ — простое, и

${\displaystyle R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}}$ — простое, тогда

${\displaystyle n=2^{k-1}QR}$ — странное число^[6].

С помощью этой формулы он смог найти большое странное число

${\displaystyle n=2^{56}(2^{61}-1)153722867280912929\approx 2\cdot 10^{52}}$.