Строго нормированное пространство

В математике строго нормированные пространства — это важный подкласс нормированных пространств, по своей структуре близких к гильбертовым. Для таких пространств решён вопрос единственности аппроксимаций, и это свойство находит широкое применение в вопросах вычислительной математики и математической физике. Кроме того, в строго нормированном пространстве отрезок соединяющий две точки произвольной сферы, будет целиком лежать строго внутри (за исключением граничных точек) открытого шара, ограниченного данной сферой.

Единичный шар на средней фигуре строго выпуклый, в то время как остальные два — нет (их границы содержат отрезки прямых).

Нормированное пространство X называют строго нормированным (или строго выпуклым), если для произвольных ${\displaystyle x,y\in X}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$, найдётся такое ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle y=\lambda x}$.

Свойства строго нормированных пространств

• Пусть X — строго нормированное пространство, а L — линейное подпространство. Тогда для ${\displaystyle \forall x\in X}$ найдется не более одного элемента ${\displaystyle u\in L}$ такого, что ${\displaystyle \rho (x,L)=\|x-u\|}$.

Элемент ${\displaystyle u}$ называют элементом наилучшего приближения x элементами из L. Существование элемента наилучшего приближения обеспечивает следующая теорема.

Теорема. Пусть X — нормированное пространство, а L — конечномерное линейное подпространство. Тогда для ${\displaystyle \forall x\in E}$ существует элемент наилучшего приближения ${\displaystyle u\in L}$.

При этом в нормированном, но не строго нормированном пространстве, элемент наилучшего приближения, вообще говоря, не единственен.

• Каждый шар строго нормированного пространства — строго выпуклое множество. Верно и обратное, если в нормированном пространстве каждый шар — строго выпуклое множество, то данное пространство является строго нормированным.
• Нормированное пространство X является строго нормированным тогда и только тогда, когда из условия ${\displaystyle \forall x,y\in X:\|x\|=1,\|y\|=1,x\neq y}$ всегда следует что ${\displaystyle \|x+y\|<2}$.

Примеры строго нормированных пространств

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с нормой ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}}$. Однако нормы ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|}$ и ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|\}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, эквивалентные норме ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ не порождают строго нормированное пространство (см. рисунок).
• ${\displaystyle L_{p}}$, где ${\displaystyle 1<p<\infty }$. Этот факт следует из неравенства Юнга, которое используется при выводе неравенств Гёльдера и Минковского.
• Гильбертовы пространства

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор Крейн С. Г. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).