Сублинейная функция

Сублинейной функцией в математике называется функция ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbb {R} }$ над действительным векторным пространством ${\displaystyle V}$ (более обще вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

${\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)}$  для всех ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}}$ и всех x ∈ V (положительная однородность),

${\displaystyle f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)}$  для всех x, y ∈ V (субаддитивность).

Эквивалентные определения

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

${\displaystyle f(\gamma x+(1-\gamma )y)\leqslant \gamma f(x)+(1-\gamma )f(y)}$  для всех x, y ∈ V и ${\displaystyle 0\leqslant \gamma \leqslant 1}$.

Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:

${\displaystyle f(x+y)=2f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leqslant 2\left({\frac {1}{2}}f(x)+{\frac {1}{2}}f(y)\right)=f(x)+f(y).}$

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbb {R} }$ является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\displaystyle f(\gamma x+\delta y)\leqslant \gamma f(x)+(1-\gamma )f(y)}$  для всех x, y ∈ V и всех ${\displaystyle 0<\gamma ,\delta }$.

Примеры

• Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция ${\displaystyle p(x)=|f(x)|}$, если ${\displaystyle f(x)}$ — линейная.
• Длина вектора в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Пусть M — пространство ограниченных последовательностей ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ).}$

Функционал:

${\displaystyle f(x)=\sup _{i}|x_{i}|}$

является сублинейным.

Свойства

• ${\displaystyle f(0)=0.}$ Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
• Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если ${\displaystyle f(x)\leqslant 0,\,\forall x\in V}$, тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:

${\displaystyle 0=f(x+(-x))\leqslant f(x)+f(-x),\,\forall x\in V}$

согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.

• Для любого ${\displaystyle \gamma }$ выполняется неравенство:

${\displaystyle f(\gamma x)\geqslant \gamma f\left(x\right)}$

При ${\displaystyle \gamma >0}$ это следует из определения положительной однородности, при ${\displaystyle \gamma =0}$ — из первого свойства, если же ${\displaystyle \gamma <0}$, то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

${\displaystyle 0\leqslant f(\gamma x)+f(|\gamma |x)=f(\gamma x)+|\gamma |f(x)}$

или:

${\displaystyle f(\gamma x)\geqslant -|\gamma |f(x)=\gamma f(x).}$

См. также

• Теорема Хана — Банаха