Суммирующая функция ряда

Суммирующая функция ряда — функция, которая каждому ряду ${\displaystyle U}$ ставит в соответствие некоторое число ${\displaystyle s(U)}$. Примером суммирующей функции может служить ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}u_{k}}$. Эта функция определена на множестве всех сходящихся рядов и её значение равно сумме ряда. Так определённую суммирующую функцию называют ${\displaystyle s_{0}}$. Для удобства использования суммирующие функции должны обладать свойствами регулярности (если ${\displaystyle U}$ - сходящийся ряд, то суммирующая функция ${\displaystyle s(U)}$ должна существовать и быть равной ${\displaystyle s_{0}(U)}$), и линейности (для любых двух рядов ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ и чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ из существования значений ${\displaystyle s(U)}$ и ${\displaystyle s(V)}$ следует существование значения ${\displaystyle s(aU+bV)}$ и равенство ${\displaystyle s(aU+bV)=as(U)+bs(V)}$)^[1].

Примеры

Суммирующей функцией Пуассона-Абеля называется функция, определённая равенством ${\displaystyle s_{p}=\lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}u_{k}x^{k}}$. Суммирующая функция Пуассона-Абеля является регулярной и линейной^[2].