Суммы Клоостермана

Суммы Клоостермана – предмет изучения аналитической теории чисел, тригонометрические суммы над элементами кольца вычетов, обратными по модулю элементам некоторого множества с естественной структурой (как правило, интервала или простых чисел из интервала).

Первые оценки сумм получил Клоостерман в 1926 году в связи с исследованием количества представлений чисел в виде ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}}$.^[1]

Определение

Пусть ${\displaystyle q\geq 3}$ – произвольное целое число и для ${\displaystyle n\in {\mathbb {F} }_{q}}$ взаимопростого с ${\displaystyle q}$ введено обозначение ${\displaystyle n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}}$. Тогда для ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {F} }_{q}}$ полной суммой Клоостермана называется сумма вида

${\displaystyle S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .}$

Неполной называется сумма по некоторому интервалу ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}}$.^[2]

Иногда рассматриваются суммы по простым^[3], полилинейные суммы с участием обратных элементов^[4] и другие суммы вида ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}}$, где ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{q}}$.

При заданном ${\displaystyle q}$ обычно оцениваются суммы Клоостермана при произвольных ${\displaystyle a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}$, в том числе величина ${\displaystyle S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)}}$.

Свойства

При ${\displaystyle a=0}$ полные суммы Клоостермана вырождаются в сумму Рамануджана.

Если ${\displaystyle (q_{1},q_{2})=1}$, то ${\displaystyle S(q)=S(q_{1})S(q_{2})}$, поэтому вопрос оценки ${\displaystyle S(q)}$ сводится к случаю ${\displaystyle q=p^{n}}$.

Оценки

${\displaystyle |S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q}}}$, где ${\displaystyle \tau (q)}$ – число делителей. Из этого следует, что ${\displaystyle \sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)}$ для любого ${\displaystyle x<q}$.^[5]

Для сумм последнего вида при ${\displaystyle q=p,\ b=0}$ известны также другие оценки, нетривиальные при ${\displaystyle x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)}$.^[6]