Субдифференциал

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение

Субдифференциалом ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ выпуклой функции ${\displaystyle f\colon E\rightarrow \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется множество, состоящее из всех линейных функционалов ${\displaystyle p\in E^{*}}$, удовлетворяющих для всех ${\displaystyle x\in E}$ неравенству

${\displaystyle p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})}$.

Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется субдифференцируемой в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если множество ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ непусто.

Вектор ${\displaystyle p\in E^{*}}$, принадлежащий субдифференциалу ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$, называется субградиентом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Свойства

• ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ — выпуклое (возможно пустое) множество в ${\displaystyle E^{*}}$

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, ${\displaystyle \lambda \geq 0}$, тогда

• ${\displaystyle \partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{2}(x)\right)}$, сумма понимается в смысле суммы Минковского.

• ${\displaystyle \partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)}$

• Если функция ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$ выпукла и непрерывна в точке ${\displaystyle x\in E}$, то она субдифференцируема в этой точке ${\displaystyle x\in E}$, то есть ${\displaystyle \partial f(x)\neq \varnothing }$, и её субдифференциал ${\displaystyle \partial f(x)}$ является множеством компактным и выпуклым

• Пусть функция ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$ выпукла и конечна. В этом случае функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема по Гато в точке ${\displaystyle x_{0}\in E}$ тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x}}\right\}}$

• Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

• Если последовательность выпуклых функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится поточечно к выпуклой функции ${\displaystyle f}$, то для любой сходящейся последовательности ${\displaystyle p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}}$ её предел ${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }p_{n}}$ принадлежит субдифференциалу ${\displaystyle \partial _{x_{0}}f}$.

Субдифференциал функции на одномерном интервале

Пример

Выпуклая функция (синяя) и "подкасательные" к её графику в точке ${\displaystyle x_{0}}$ (красные).

Пусть ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ — вещественнозначная выпуклая функция, определённая на принадлежащем прямой открытом интервале. Такая функция может быть дифференцируема не во всех точках. Например, функция ${\displaystyle f(x)=|x|}$ недифференцируема при ${\displaystyle x=0}$. Однако, как это можно видеть на графике, расположенном справа ^[1] , для всякого ${\displaystyle x_{0}}$ из области определения через точку ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ может быть проведена прямая, которая либо касается графика функции ${\displaystyle f(x)}$, либо располагается под этим графиком. Допустимые наклоны таких прямых образуют то, что именуется субдифференциалом.

Определение

Субпроизводная выпуклой функции ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ на открытом интервале ${\displaystyle I}$ — это вещественное число ${\displaystyle c}$, такое, что $${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$$ для всех ${\displaystyle x\in I}$. По теореме, обратной теореме о среднем значении, для выпуклой функции множество субпроизводных в точке ${\displaystyle x_{0}}$ — непустой замкнутый промежуток ${\displaystyle [a,b]}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — односторонние пределы $${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}$$ $${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$$ Множество ${\displaystyle [a,b]}$ всех субпроизводных называют субдифференциалом функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Субдифференциал обозначают ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$. Если функция ${\displaystyle f}$ выпукла, то её субдифференциал в любой точке не пуст. Более того, если её субдифференциал в точке ${\displaystyle x_{0}}$ содержит ровно одну субпроизводную,, то ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}}$ и функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$.^[2]