Суперсовершенное число

Суперсовершенное число — натуральное число n, такое, что:

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

где σ является суммой делителей числа n^[1]. Несмотря на название, суперсовершенные числа не являются обобщением совершенных чисел. Термин был придуман Д. Сурьянараяной в 1969 году^[2].

Суперсовершенные числа образуют последовательность: 2, 4, 16, 64, 4096, 65 536, 262 144, … (последовательность A019279 в OEIS).

Все чётные суперсовершенные числа имеют вид ${\displaystyle 2^{p}}$, где ${\displaystyle 2^{p+1}-1}$ — простое число Мерсенна.

Неизвестно, существуют ли нечётные суперсовершенные числа. В 2000 году Хансакер и Померанс доказали, что не существует нечётных суперсовершенных чисел, меньших, чем ${\displaystyle 7\times 10^{24}}$^[3].

Обобщения

Совершенные и суперсовершенные числа являются простейшими примерами широкого класса m-суперсовершенных чисел, которые удовлетворяют:

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

при m=1 и 2 соответственно^[2].

m-суперсовершенные числа в свою очередь являются частным случаем (m, k)-совершенных чисел, которые удовлетворяют^[4]:

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn,}$.

В этих обозначениях, совершенные числа — (1,2)-совершенные числа, мультисовершенные числа — (1,k)-совершенные числа, суперсовершенные числа — (2,2)-суперсовершенные числа и m-суперсовершенные числа — (m,2)-совершенные числа.

Примеры классов (m, k)-совершенных чисел:

m	k	(m,k)-совершенные числа	OEIS
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	любой	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, …	A019292
4	любой	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, …	A019293