Считающая мера

Считающая ме́ра (также счётная мера) — формальный эквивалент количества элементов множества.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ — измеримое пространство, такое что любая точка ${\displaystyle x\in X}$ является измеримым множеством, то есть ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {F}}}$. Тогда мера ${\displaystyle \mu }$, определённая следующим образом: ${\displaystyle \mu (A)=\vert A\vert }$ — количество элементов в ${\displaystyle A}$, если ${\displaystyle A}$ — конечное множество, и ${\displaystyle \infty }$, если ${\displaystyle A}$ бесконечно, называется счётной мерой.

Свойства

• Считающая мера конечна, если ${\displaystyle \vert X\vert <\infty }$, и бесконечна в противном случае.
• Если ${\displaystyle X}$ — счётное множество, то считающая мера σ-конечна.