Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля — антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

${\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.}$

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

${\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

${\displaystyle F=\mathbf {d} A.}$

Отсюда также очевидна его инвариантность.

Свойства

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля^[1]:

${\displaystyle \ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.}$

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

${\displaystyle F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}$

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$
(${\displaystyle \partial ^{i}=-\partial _{i}}$)

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},}$

что обозначается как

${\displaystyle F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}$

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_{x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aligned}}}$

Применение

Непосредственно из определения следует, что

${\displaystyle \mathbf {d} F=0.}$

В компонентах это выражение принимает вид

${\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }}$ — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0,}$

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Вторая пара уравнений Максвелла выражается (в Гауссовой СГС) через тензор электромагнитного поля и 4-ток как

${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },}$

где ${\displaystyle j^{\mu }}$ — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

${\displaystyle d*F={\frac {4\pi }{c}}J.}$

Сила Лоренца (и, соответственно, дифференциальное уравнение для движения заряда в четырёхмерной форме) выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд ${\displaystyle e}$ по формуле:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu }=mc{\dfrac {du^{\mu }}{ds}}={\dfrac {e}{c}}F^{\mu \nu }u_{\nu }.}$

Запись в дифференциальной форме

Пусть в заданной системе отсчёта используются координаты ${\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z}$ и их дифференциалы ${\displaystyle dx^{0},dx^{1}=dx,dx^{2}=dy,dx^{3}=dz}$. Тогда в них можно записать:

• Электрическое поле ${\displaystyle \mathbf {E} =E_{x}dx+E_{y}dy+E_{z}dz=d\varphi }$
• Магнитное поле ${\displaystyle \mathbf {B} =B_{x}dy\wedge dz+B_{y}dz\wedge dx+B_{z}dx\wedge dy=d(A_{1}dx+A_{2}dy+A_{3}dz)=dA}$
• Электромагнитное поле ${\displaystyle F=dt\wedge \mathbf {E} +\mathbf {B} =dt\wedge d\varphi +dA=d(A-\varphi dt)}$
• Первое уравнение Максвелла

${\displaystyle dF=0}$

• Второе уравнение Максвелла

${\displaystyle d(*F)={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} }$

• Первый инвариант э/м поля

${\displaystyle *((*F)\wedge F)=F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})}$

• Второй инвариант э/м поля

${\displaystyle *(F\wedge F)={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)}$

См. также

• Электромагнитный тензор энергии-импульса