Теорема Баргмана — Вигнера

Теорема Баргмана — Вигнера — теорема аксиоматической квантовой теории поля. Раскрывает значение понятия универсальной накрывающей группы при преобразованиях Пуанкаре в релятивистской квантовой теории. Была доказана Ю. Вигнером^[1] и В. Баргманом^[2].

Формулировка

Векторы состояния при преобразованиях из собственной группы Пуанкаре преобразуются по унитарному представлению её универсальной накрывающей (квантовомеханической собственной группы Пуанкаре)^[3].

Иначе говоря, из каждого луча ${\displaystyle T(a,\Lambda )}$ можно выбрать по одному представителю ${\displaystyle U(a,\Lambda )\in T(a,\Lambda )}$так что имеют место соотношения ^[4]:

${\displaystyle U(0,1)=1,U({\underline {a_{1}}},A_{1})U({\underline {a_{2}}},A_{2})=U({\underline {a_{1}}}+A_{1}^{*}a_{2}A_{1},A_{1}A_{2})}$

где ${\displaystyle a}$ определяется формулой ${\displaystyle x=x^{\alpha }{\sigma }_{\alpha }=x^{0}\sigma _{0}+x^{1}\sigma _{1}+x^{2}\sigma _{2}+x^{3}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}$.

Пояснения

Лучом называется вектор состояния в сепарабельном гильбертовом пространстве^[5]. Группа ${\displaystyle G_{2}}$ называется универсальной накрывающей связной группы ${\displaystyle G_{1}}$, если ${\displaystyle G_{2}}$ — минимальная односвязная группа, гомоморфная ${\displaystyle G_{1}}$^[6]. ${\displaystyle x}$ — четырёхмерный вектор^[7]. ${\displaystyle \sigma _{0},...,\sigma _{3}}$ — матрицы Паули^[7].