Теорема Брахмагупты

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой.

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке ${\displaystyle M}$, то прямая, проходящая через точку ${\displaystyle M}$ и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

${\displaystyle {\overline {BD}}\perp {\overline {AC}},{\overline {EF}}\perp {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow |{\overline {AF}}|=|{\overline {FD}}|}$

Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок ${\displaystyle FE}$ (на рисунке справа) называют антимедиатрисой^[1] противоположных сторон четырёхугольника. С учётом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде:

Две пары антимедиатрис вписанного ортодиагонального четырёхугольника проходят через точку пересечения его диагоналей.

Доказательство

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$, имеющий перпендикулярные диагонали ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$, а прямая ${\displaystyle ME}$ перпендикулярна стороне ${\displaystyle BC}$ и пересекает сторону ${\displaystyle DA}$ в точке ${\displaystyle F}$. Тогда ${\displaystyle \angle {DMF}=\angle {BME}=\angle {MCE}\equiv \angle {ACB}=\angle {ADB}\equiv \angle {FDM}.}$ Следовательно, треугольник ${\displaystyle FMD}$ — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник ${\displaystyle FAM}$. Поэтому ${\displaystyle |FA|=|FM|=|FD|}$.

Антицентр и коллинеарность

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного ортодиагонального четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке^[2][3]. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно «вершинного центроида». Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямой^[3].

Обобщения

• Известна теорема: Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны ^[4]. Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырёхугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника).

Эта теорема обобщает теорему Брахмагупты, однако отсутствие вписанности четырёхугольника в окружность приводит к тому, что его антимедиатрисы пересекаются не в точке, являющейся точкой пересечения его диагоналей.