Теорема Грина — Тао

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году^[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Формулировка

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются^[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках ${\displaystyle \mathbb {P} }$ означает множество простых чисел. Запись ${\displaystyle \log _{[k]}x}$ означает ${\displaystyle \log \log \dots \log x}$, где логарифм берётся ${\displaystyle k}$ раз.

Теорема Грина — Тао Пусть ${\displaystyle A}$ — множество простых чисел, и его плотность относительно простых ${\displaystyle \delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}}$ строго положительна. Тогда для любого ${\displaystyle k\geqslant 2}$ множество ${\displaystyle A}$ содержит арифметическую прогрессию длины ${\displaystyle k}$.

В своей отдельной более ранней работе^[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества ${\displaystyle A}$, но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Существует константа ${\displaystyle c}$ такая, что если для множества простых чисел ${\displaystyle A\subset \{1,\dots ,N\}}$ выполнено ${\displaystyle |A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N}}}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N}}}}}$, то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке ${\displaystyle [1,n]}$, то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда ${\displaystyle |A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N}}}$, ${\displaystyle \delta >0}$. Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Существует константа ${\displaystyle c}$ такая, что для любого множества простых чисел ${\displaystyle A\subset \{1,\dots ,N\}}$ и его плотности ${\displaystyle \delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}}$ будет выполнено следствие: если ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right)}}}}$, то ${\displaystyle A}$ содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Примеры

• 18 января 2007 года Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел^[4]:

  468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).

• 17 мая 2008 года Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:

  6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.

• 12 апреля 2010 года Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:

  43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

Вариации и обобщения

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий^[5]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P₁, …, P_k одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P₁(m), …, x + P_k(m) — простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k).

См. также

• Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях
• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
• Арифметическая комбинаторика
• Теорема Семереди