Теорема Громова о группах полиномиального роста

Теорема Громова о группах полиномиального роста утверждает, что все конечнопорождённые группы полиномиального роста почти нильпотентны, то есть, обладают нильпотентной подгруппой конечного индекса.

Теорема доказана Громовым в 1981^[1]. В той же статье вводится так называемая сходимость по Громову — Хаусдорфу. Доказательство существенно использует так называемую альтернативу Титса.

Вариации и обобщения

• Теорема остаётся верной если степень роста группы ${\displaystyle O(n^{(\log \log n)^{c}})}$.^[2]
• Если для группы ${\displaystyle G}$ существует многочлен ${\displaystyle P}$ такой, что для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ существует система образующих ${\displaystyle S=S^{-1}}$ такая, что

  ${\displaystyle |S^{n}|\leqslant P(n)\cdot |S|,}$

тогда ${\displaystyle G}$ почти нильпотентна и в частности имеет полиномиальный рост.^[3]