Теорема Дэвенпорта — Шмидта

В математике, в области диофантовых приближений, теорема Давенпорта — Шмидта определяет, насколько хорошо действительные числа специального вида могут быть аппроксимированы другим специальным видом чисел. А именно, она утверждает возможность получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя квадратичные иррациональные числа или просто рациональные числа. Теорема названа в честь Гарольда Дэвенпорта и Вольфганга М. Шмидта.

Теорема

Для рационального или квадратичного иррационального числа ${\displaystyle \alpha }$ существуют уникальные целые числа ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ такие, что хотя бы одно из них не равно нулю, первое ненулевое из них положительно, они взаимно просты, и выполняется

${\displaystyle x\alpha ^{2}+y\alpha +z=0.}$

Если ${\displaystyle \alpha }$ — квадратичное иррациональное число, в качестве ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ можно взять коэффициенты его минимального полинома. Если ${\displaystyle \alpha }$ рационально, примем ${\displaystyle x=0}$. Используя эти целые числа, однозначно определённые для каждого такого ${\displaystyle \alpha }$, высоту ${\displaystyle \alpha }$ задаётся по формуле

${\displaystyle H(\alpha )=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}.}$

Теорема утверждает, что для любого действительного числа ${\displaystyle \xi }$, которое не является ни рациональным, ни квадратичным иррациональным, можно найти бесконечно много действительных чисел ${\displaystyle \alpha }$, которые являются рациональными или квадратичными иррациональными и которые удовлетворяют неравенству

${\displaystyle |\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\;\xi ^{2}),}$

где ${\displaystyle C}$ — любое действительное число, удовлетворяющее ${\displaystyle C>160/9}$.^[1]

Хотя эта теорема связана с теоремой Рота, её реальное использование заключается в том, что она эффективна в том смысле, что постоянная ${\displaystyle C}$ может быть определена для любого заданного ${\displaystyle \xi }$.