Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве.

Формулировка теоремы

Пусть ${\displaystyle A}$ — компакт в ${\displaystyle m}$-мерном евклидовом пространстве. Тогда любая точка ${\displaystyle x}$ в выпуклой оболочке ${\displaystyle A}$ является выпуклой комбинацией не более чем ${\displaystyle m+1}$ точек множества ${\displaystyle A}$^[1][2]. То есть

${\displaystyle \operatorname {Conv} A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}:x=\sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}x_{i},\quad x_{i}\in A,\quad \lambda _{i}\geqslant 0,\quad \sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}=1,\quad i=1,\ 2,\ \dots ,\ m+1\right\}}$

Связанные результаты

• В случае, когда одна из координат точки ${\displaystyle x\in \operatorname {Conv} A}$ достигает экстремального значения (для множества A), эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем m точек A^[1].

• С теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке связана также теорема Хелли^[1].

• Выпуклая оболочка компактного множества компактна. Это утверждение также иногда называется теоремой Каратеодори.^[3]