Теорема Ковалевской

Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.

Система Ковалевской

Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{N}}$ вида

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},...\right),}$

где ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$, ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}}$, ${\displaystyle a\leqslant n_{j}}$, ${\displaystyle a_{0}\leqslant n_{j}-1}$, ${\displaystyle i,j=1,...,N}$, то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная ${\displaystyle t}$ выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка ${\displaystyle n_{i}}$ каждой функции системы содержится производная по ${\displaystyle t}$ порядка ${\displaystyle n_{i}}$ и система разрешена относительно этих производных.

Используется следующее обозначение:

${\displaystyle D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},}$

где ${\displaystyle a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}}$, ${\displaystyle a_{i}\geqslant 0}$, ${\displaystyle i=1,...,N}$.

Формулировка

Если все функции ${\displaystyle \phi _{i}^{k}(x)}$ аналитичны в окрестности точки ${\displaystyle x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})}$, а функции ${\displaystyle F_{i}}$ определены и аналитичны в окрестности точки ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots )}$, то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$, единственное в классе аналитических функций.

Доказательство

См. также

• Теорема Коши — Ковалевской

Литература

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Москва: «Наука», 1981. — С. 78—79. — 512 с.