Теорема Коши — Пуанкаре

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle M}$ — комплексное многообразие (комплексной) размерности ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \omega }$ — голоморфная форма степени ${\displaystyle n}$ на этом многообразии. Тогда интеграл от ${\displaystyle \omega }$ по границе любой ${\displaystyle (n+1)}$ — мерной цепи ${\displaystyle \sigma \subset M}$ равен нулю: ${\displaystyle \int \limits _{d\sigma }\omega =0}$

Доказательство

В локальных координатах ${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$, действующих в окрестности ${\displaystyle U\subset M}$, голоморфная форма имеет вид: ${\displaystyle \omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}}$, где ${\displaystyle f}$ — голоморфная в ${\displaystyle U}$ функция. В силу голоморфности ${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0}$ и, значит ${\displaystyle df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu }}}dz_{\mu }}$; по свойствам внешнего произведения получаем, следовательно, что ${\displaystyle d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0}$, то есть что форма ${\displaystyle \omega }$ замкнута. В силу формулы Стокса, интеграл от замкнутой формы ${\displaystyle \omega (d\omega =0)}$ по границе ${\displaystyle \sigma =\partial \sigma ^{'}}$ равен нулю: ${\displaystyle \int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0}$. Поэтому мы заключаем, что интеграл ${\displaystyle \int \limits _{d\sigma }\omega =0}$ равен нулю.

Литература

• Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных, М., Наука, 1985