Теорема Крамера о разложении нормального распределения

Теорема Крамера о разложении нормального распределения — утверждение в теории вероятности. Хорошо известно, что если случайные величины ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ независимы и нормально распределены, то их сумма также нормально распределена. Оказывается, что верно и обратное утверждение. Этот результат, предугаданный П. Леви^[1] и доказанный Крамером^{[англ.]*[2]}, привел к возникновению нового направления в теории вероятностей — теории разложений случайных величин на независимые слагаемые (арифметики вероятностных распределений)^[3].

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина ${\displaystyle \xi }$ имеет нормальное распределение и представима в виде суммы двух независимых случайных величин ${\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2}}$. Тогда ${\displaystyle \xi _{1}}$и ${\displaystyle \xi _{2}}$ также нормально распределены.

Доказательство теоремы Крамера о разложении нормального распределения использует теорию целых функций.