Теорема Крейна — Мильмана

Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Доказана Марком Крейном и Давидом Мильманом в 1940 году^[1].

Формулировка

Выпуклый компакт ${\displaystyle K}$ в локально выпуклом пространстве ${\displaystyle L}$ совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек ${\displaystyle E(K)}$.

Замечания

• Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.

• Существуют топологические векторные пространства, содержащие выпуклые компакты без крайник точек^[2].

• Утверждение аналогичное теореме Крейна — Мильмана не выполняется в пространствах Адамара со слабой топологией.^[3]

Приложения

• Теорема применяется для доказательств неизоморфности различных банаховых пространств.
• Применена де Бранжем в изящном варианте доказательства теоремы Стоуна — Вейерштрасса.