Теорема Лагерра

Теорема Лагерра - теорема о свойствах производной целой функции.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle f(z)}$ - целая функция порядка, меньшего чем 2, вещественная при вещественных значениях ${\displaystyle z}$ и с вещественными нулями. Тогда нули производной ${\displaystyle f'(z)}$ также все вещественны и отделены друг от друга нулями функции ${\displaystyle f(z)}$.

Пояснения

Целая функция есть аналитическая функция, не имеющая особенностей в конечной части плоскости. Целая функция ${\displaystyle f(z)}$ называется функцией конечного порядка, если существует такое положительное число ${\displaystyle A}$, что при ${\displaystyle |z|=r\rightarrow \infty }$ выполняется равенство ${\displaystyle f(z)=O(e^{r^{A}})}$. Нижняя грань ${\displaystyle \rho }$ чисел ${\displaystyle A}$ в этом равенстве называется порядком функции.

Литература

• Е. Титчмарш Теория функций, М., Наука, 1980, 2-е изд., 461 стр.