Теорема Лагранжа об обращении рядов

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Формулировка

Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитична в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и ${\displaystyle f'(z_{0})\neq 0}$. Тогда в некоторой окрестности точки ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ обратная к ней функция ${\displaystyle f^{-1}(w)}$ представима рядом вида

${\displaystyle f^{-1}(w)=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.}$

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции ${\displaystyle f(z)}$ по степеням другой голоморфной функции ${\displaystyle w(z)}$ и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle w(z)}$ голоморфны в окрестности некоторой точки ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$, притом ${\displaystyle w(a)=0}$ и ${\displaystyle a}$ — простой нуль функции ${\displaystyle w(z)}$. Теперь выберем некую область ${\displaystyle D\ni a}$, в которой ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle w}$ голоморфны, а ${\displaystyle w}$ однолистна в ${\displaystyle {\overline {D}}}$. Тогда имеет место разложение вида:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),}$

где коэффициенты ${\displaystyle d_{n}}$ вычисляются по следующему выражению:

${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left\{f'(z){\frac {(z-a)^{n}}{w^{n}(z)}}\right\}.}$

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида ${\displaystyle w=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда ${\displaystyle z=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$:

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.}$

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида ${\displaystyle F\circ f^{-1}}$ справедливо представление в виде ряда

${\displaystyle F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.}$

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Lagrange expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Series Reversion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Bürmann-Lagrange series (англ.)