Теорема Массельмана

В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.

Формулировка теоремы

Треугольник T с вершинами A, B и C; O — центр описанной окружности (красная).
A*, B* и C* — точки, симметричные точкам A, B и C относительно противоположной стороны.
M — точка пересечения окружностей Массельмана.
Зелёная окружность — окружность девяти точек, N — её центр.
K — точка Косниты.

Пусть дан треугольник ${\displaystyle T}$ с вершинами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$. Пусть ${\displaystyle A^{*}}$, ${\displaystyle B^{*}}$ и ${\displaystyle C^{*}}$ — вершины треугольника отражений ${\displaystyle T^{*}}$, получаемого зеркальным отражением каждой вершины ${\displaystyle T}$ относительно противоположной стороны^[1]. Пусть ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности ${\displaystyle T}$. Рассмотрим 3 окружности ${\displaystyle S_{A}}$, ${\displaystyle S_{B}}$ и ${\displaystyle S_{C}}$, проходящие через точки ${\displaystyle A\,O\,A^{*}}$, ${\displaystyle B\,O\,B^{*}}$ и ${\displaystyle C\,O\,C^{*}}$ соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке ${\displaystyle M}$, которая является инверсией относительно описанной вокруг ${\displaystyle T}$ окружности точки Косниты, которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника ${\displaystyle T}$^[2].

Общая точка ${\displaystyle M}$ является точкой Гилберта треугольника ${\displaystyle T}$, которая перечислена как ${\displaystyle X_{1157}}$ в Энциклопедии центров треугольника^[2][3].

История

Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году^[4], и доказательство представлено ими в 1941 году^[5]. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом^[6].

Обобщение Горматига

Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.

Как и прежде, пусть ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ — вершины треугольника ${\displaystyle T}$, и ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности. Пусть ${\displaystyle H}$ — ортоцентр треугольника ${\displaystyle T}$, то есть пересечение трёх высот. Пусть ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ — три точки на отрезках ${\displaystyle OA}$, ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle OC}$, такие что ${\displaystyle OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t}$. Рассмотрим 3 прямые ${\displaystyle L_{A}}$, ${\displaystyle L_{B}}$ и ${\displaystyle L_{C}}$, перпендикулярные ${\displaystyle OA}$, ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle OC}$ через точки ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ соответственно. Пусть ${\displaystyle P_{A}}$, ${\displaystyle P_{B}}$ и ${\displaystyle P_{C}}$ — точки пересечения перпендикуляров с прямыми ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно.

Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки ${\displaystyle P_{A}}$, ${\displaystyle P_{B}}$ и ${\displaystyle P_{C}}$ лежат на одной прямой ${\displaystyle R}$^[7]. Пусть ${\displaystyle N}$ — проекция центра описанной окружности ${\displaystyle O}$ на прямую ${\displaystyle R}$, а ${\displaystyle N'}$ — точка на ${\displaystyle ON}$, такая что ${\displaystyle ON'/ON=t}$. Горматиг доказал, что ${\displaystyle N'}$ является инверсией относительно описанной вокруг треугольника ${\displaystyle T}$ окружности изогонального сопряжения точки ${\displaystyle Q}$ на прямой Эйлера ${\displaystyle OH}$, такой что ${\displaystyle QH/QO=2t}$^[8][9].