Теорема Машке

Теорема Машке — теорема теории представлений, утверждающая при определённых условиях на характеристику поля, что всякое конечномерное представление конечной группы раскладывается в прямую сумму неприводимых.

Формулировка

Теорема. Если характеристика поля ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {F} )}$ равна нулю или не делит порядок конечной группы ${\displaystyle |G|}$, то любое конечномерное представление ${\displaystyle G}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ раскладывается в прямую сумму неприводимых.

Трюк Машке

Пусть имеются два линейных представления ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow GL(V),\ \psi :G\rightarrow GL(W)}$ конечной группы ${\displaystyle G}$ над полем ${\textstyle \mathbb {F} }$, характеристика которого не делит порядок группы ${\displaystyle G}$. Тогда по любому линейному отображению ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ можно построить гомоморфизм линейных представлений ${\displaystyle F:V\rightarrow W}$. Причём если ${\displaystyle U}$ — такое инвариантное относительно линейного представления ${\displaystyle \varphi }$ подпространство, что ${\displaystyle f|_{U}}$ есть гомоморфизм линейных представлений, то ${\displaystyle F|_{U}=f|_{U}}$.

Доказательство. Зададим гомоморфизм линейных представлений таким образом: ${\displaystyle F(v)={\dfrac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\psi (g)f(\varphi (g^{-1})v)}$. Проверим, что это действительно гомоморфизм представлений. Пусть ${\displaystyle h\in G,\ v\in V}$. Тогда ${\displaystyle \psi (h)F(v)=\psi (h){\dfrac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\psi (g)f(\varphi (g^{-1})v)={\dfrac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\psi (hg)f(\varphi ((hg)^{-1})\varphi (h)v)=F(\varphi (h)v)}$. Теперь пусть ${\displaystyle U\subseteq V}$ — такое инвариантное относительно линейного представления ${\displaystyle \varphi }$ подпространство, что ${\displaystyle f|_{U}}$ есть гомоморфизм линейных представлений. Покажем, что ${\displaystyle F|_{U}=f|_{U}}$. Действительно, ${\displaystyle F(u)={\dfrac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\psi (g)f(\varphi (g^{-1})u)={\dfrac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\psi (g)\psi (g^{-1})f(u)=f(u)}$ для всякого ${\displaystyle u\in U}$. ${\displaystyle \blacksquare }$

Доказательство теоремы Машке

Докажем, что выполняется свойство отщепляемости. Пусть ${\displaystyle U}$ -- инвариантное подпространство для линейного представления ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow GL(V)}$, где ${\displaystyle V}$ -- конечномерное линейное пространство над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$, характеристика которого не делит порядок группы ${\displaystyle G}$. Возьмём произвольное подпространство ${\displaystyle W\subseteq V}$, что ${\displaystyle V=U\oplus W}$. Рассмотрим линейное отображение ${\displaystyle f:V\rightarrow U}$, являющийся проектором на подпространство ${\displaystyle U}$ параллельно ${\displaystyle W}$. Тогда ${\displaystyle f|_{U}=id_{U}}$. Воспользуемся трюком Машке и получим гомоморфизм ${\displaystyle F:V\rightarrow U}$ для линейных представлений ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \varphi |_{U}}$. Заметим, что ${\displaystyle F|_{U}=f|_{U}=id_{U}}$, следовательно ${\displaystyle F|_{U}^{2}=F|_{U}}$. В силу того, что ${\displaystyle F}$ гомоморфизм представлений, получаем, что ядро ${\displaystyle Ker\,F}$ является инвариантным подпространством для ${\displaystyle \varphi }$.

Для всякого ${\displaystyle v\in V}$ верно, что ${\displaystyle v=F(v)+(v-F(v))}$, ${\displaystyle F(v)\in U,\ v-F(v)\in Ker\,F}$. Также видно, что ${\displaystyle U\cap Ker\,F=\{0\}}$, а значит ${\displaystyle V=U\oplus Ker\,F}$. Таким образом, доказано выполнение свойства отщепляемости, следовательно, линейное представление ${\displaystyle \varphi }$ является вполне приводимым, то есть раскладывается в прямую сумму неприводимых линейных представлений. ${\displaystyle \blacksquare }$

Литература

• Б. Л. Ван дер Варден, Алгебра, М.: Наука, 1976, с. 388.