Теорема Меньшова

Теорема Меньшова — теорема математического анализа, доказанная в 1941 году советским математиком Д. Е. Меньшовым^[1]. Она утверждает, что любую интегрируемую периодическую функцию можно «немного подправить» так, чтобы её ряд Фурье сходился к ней равномерно. Впоследствии было найдено несколько более простых доказательств этой теоремы^[2].

Формулировка

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — измеримая, конечная почти всюду функция, заданная на отрезке ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, и ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Тогда существуют такая функция ${\displaystyle G(x)}$ и такое измеримое подмножество отрезка ${\displaystyle \Omega }$, что:

1. ${\displaystyle mes\Omega >2\pi -\varepsilon }$;

2. ${\displaystyle G(x)=f(x)}$ на множестве ${\displaystyle \Omega }$;

3. Ряд Фурье функции ${\displaystyle G(x)}$ сходится к ней равномерно на всем отрезке.