Теорема Микеля

Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика Огюста Микеля^[фр.][1]. Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées.

Рисунок, показывающий три окружности, проходящие через вершины треугольника ABC и точки A´, B´ и C´, лежащие на смежных сторонах треугольника и пересекающиеся в общей точке M.

Теорема Микеля для различных треугольников

Формулировка

Пусть ${\displaystyle ABC}$ — треугольник с произвольными точками ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ соответственно на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников ${\displaystyle AB'C'}$, ${\displaystyle A'BC'}$, и ${\displaystyle A'B'C.}$ Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке ${\displaystyle M}$, называемой точкой Микеля. Более того, будут равны друг другу три угла ${\displaystyle \angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A}$ (отмечены на рисунке).^[2][3]

Частный случай

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. также

• Точка Микеля — другой результат Микеля