Теорема Миттаг-Леффлера

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Миттаг-Леффлера о звезде.

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций. Обобщает разложение рациональной функции на простейшие дроби на мероморфные функции.

Формулировка

Пусть мероморфная функция ${\displaystyle f(z)}$ имеет в точках ${\displaystyle z=a_{k},|a_{1}|\leqslant |a_{2}|\leqslant \ldots \leqslant |a_{k}|\leqslant \ldots }$ полюсы с главными частями ${\displaystyle g_{k}\left({\tfrac {1}{z-a_{k}}}\right)=G_{k}(z)}$ и пусть

${\displaystyle h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+\ldots +{\frac {G_{k}^{(p)}(0)}{p!}}z^{p}}$

будут отрезки тейлоровских разложений ${\displaystyle g_{k}\left({\tfrac {1}{z-a_{k}}}\right)}$ по степеням ${\displaystyle z}$. Тогда существует такая последовательность целых чисел ${\displaystyle p_{k}}$ и такая целая функция ${\displaystyle f_{0}(z)}$, что для всех ${\displaystyle z\neq a_{k}}$ имеет место разложение

${\displaystyle f(z)=f_{0}(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k}}}\right)-h_{k}^{p_{k}}(z)\right\},}$

равномерно сходящееся в любом конечном круге ${\displaystyle |z|\leqslant A}$.

Следствие

Любая мероморфная функция ${\displaystyle f(z)}$ представима в виде суммы ряда^[1]

${\displaystyle f(z)=h(z)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right),}$

где ${\displaystyle h}$ — целая функция, ${\displaystyle g_{n}}$ — главные части лорановских разложений в полюсах ${\displaystyle f(z)}$, занумерованных по возрастанию их модулей, и ${\displaystyle P_{n}}$ — некоторые многочлены.